【题目】在非负数构成的数表中,每行的数互不相同,前六列中每列的三数之和为1,均大于1.如果的前三列构成的数表满足下面的性质:对于数表中的任意一列()均存在某个使得.①
求证:(1)最小值()一定去自数表的不同列;
(2)存在数表中唯一的一列()使得数表仍然具有性质().
【答案】见解析
【解析】
(1)假设最小值()不是取自数表的不同列.则存在一列不含任何不妨设().由于数表中同一行中的任何两个元素都不等,于是,().使得.矛盾.
(2)由抽屉原理知中至少有两个值取在同一列.不妨设.由(1)知数表的第一列一定含有某个,则只能是.
同理,第二列中也必含某个().不妨设.
于是,,即是数表中的对角线上数字:.
记.令集合.显然,且.因为,所以,.故.于是,存在.使得.显然,.下面证明:数表具有性质().
从上面的选法可知().这说明.
又由满足性质(),在式①中取,推得.于是,.接下来证明:对任意的,存在某个()使得.
假若不然,则()且.这与的最大性矛盾.因此,数表满足性质().
再证唯一性.设有使得数表具有性质().
不失一般性,可假定②
.由于及(1),有.又由(1)知,或者,③或者④如果式③成立,则⑤由数表满足性质(),则对于至少存在一个,使得.
又由式②、⑤知.所以,只能有.同理,由数表满足性质()得.于是,,即数表.如果式④成立,则⑥由数表满足性质(),则对于,存在某个()使得.由及式②、⑥知.于是,只能有.同理,由满足性质()及得.从而.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产,数学家刘徽在注解《九章算术》时,发现当圆内接正多边行的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积,为此他创立了割圆术,利用割圆术,刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416,后人称3.14为徽率,如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,若结束程序时,则输出的为( )(,,)
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数,,,下列命题为真命题的是( )
A.在内单调递减
B.和之间存在“隔离直线”,且的最小值为
C.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是
D.和之间存在唯一的“隔离直线”
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码,它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下:
数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
形式 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ | Ⅶ | Ⅷ | Ⅸ |
其中“Ⅰ”需要1根火柴,“Ⅴ”与“X”需要2根火柴,若为0,则用空位表示. (如123表示为,405表示为)如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的不同的三位数的个数为( )
A.87B.95C.100D.103
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆E的一个顶点为,焦点在x轴上,若椭圆的右焦点到直线的距离是3.
求椭圆E的方程;
设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,求直线l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是抛物线的焦点,若点在抛物线上,且
求抛物线的方程;
动直线与抛物线相交于两点,问:在轴上是否存在定点其中,使得向量与向量共线其中为坐标原点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com