Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，其前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等比数列的性质结合b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄列式求得等差数列的公差，然后求出等比数列的公比，分别代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n得到c_n=a_n•b_n．代入等差数列和等比数列的通项公式后利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由{b_n}是等比数列，得b22=b1•b3，
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得：2a1d=d2．
∵a₁=1，公差d＞0，
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴等比数列{b_n}的公比q=3．
∴bn=3n；
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=S_n，得

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=Sn-1 （n≥2）．
两式作差得：

cn

bn

=an(n≥2)．
∴c_n=a_n•b_n（n≥2）．
又

c1

b1

=a1，
∴c₁=a₁•b₁．
∴c_n=a_n•b_n．
∴T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ．
3Tn=1×32+3×33+…+(2n-1)•3n+1．
两式作差得：-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)•3n+1
=3+2×

9(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n+1．
∴Tn=3+(n-1)•3n+1．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．