Question

已知A，B是△ABC的两个内角，

a

=

2

cos

A+B

2

i

+sin

A-B

2

j

，（其中

i

，

j

是互相垂直的单位向量），若|

a

|=

6

2

．
（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）先利用向量数量积的运算性质|

a

|2=

a

2，将|

a

|=

6

2

转化为三角方程，再利用二倍角公式和两角和差的余弦公式将方程化简即可求得tanA•tanB的值；
（2）求tanC的最大值即求tan（A+B）的最小值，利用两角和的正切公式及（1）中结论，即可利用均值定理求得tan（A+B）的最小值，利用均值定理等号成立的条件，即可求得此时三角形的形状

解答：解：（1）tanA•tanB为定值

1

3

，证明如下：
由|

a

|2=

3

2

，得2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

3

2

∴1+cos（A+B）+

1-cos(A-B)

2

=

3

2

即2cos（A+B）=cos（A-B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=

1

3

（2）∵tanAtanB=

1

3

＞0，∴tanA＞0，tanB＞0
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

2

（tanA+tanB）≥

3

2

×2

tanA•tanB

=

3

∴tan（A+B）≥

3

，即-tanC≥

3

∴tanC≤-

3

当tanC=-

3

时，

tanA+tanB= 2 3 3 tanA•tanB= 1 3

，即tanA=tanB=

3

3

∴A=B=30°
∴tanC的最大值为-

3

，此时△ABC为等腰三角形

点评：本题主要考查了向量数量积的运算性质及其应用，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，利用均值定理求函数的最值的方法，属中档题