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    （2013•茂名二模）数列{an}的前n项和Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，（n=1，2，…）
    （1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；
    （2）设bn=（n+1）•log3an+1，数列{
    1
    bn
    }前n项和Tn．在（1）的条件下，证明不等式Tn＜1；
    （3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，在（1）的条件下，令cn=
    nan-4
    nan
    （n=1，2，…），求数列{cn}的“积异号数”
    分析：（1）利用点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，可得an+1=2Sn+1，再写一式，两式相减，利用a1=t，数列{an}是等比数列，从而可求t的值；
    （2）确定数列{
    1
    bn
    }的通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论；
    （3）先确定c1c2=-1，再证明数列{cn}是递增数列，即可求数列{cn}的“积异号数”．
    解答：（1）解：因为点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，所以an+1=2Sn+1
    所以n≥2时，an=2Sn-1+1
    两式相减可得an+1-an=2an
    所以an+1=3an（n≥2）
    ∵a1=t，数列{an}是等比数列，
    ∴
    a2
    a1
    =
    2t+1
    t
    =3，∴t=1；
    （2）证明：由（1）得bn=（n+1）•log3an+1=n（n+1）
    ∴
    1
    bn
    =
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1

    ∴Tn=
    1
    b1
    +
    1
    b2
    +…+
    1
    bn
    =1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +…+
    1
    n
    -
    1
    n+1
    =1-
    1
    n+1
    ＜1；
    （3）解：由（1）知，an=3n-1
    ∴cn=
    nan-4
    nan
    =1-
    4
    n•3n-1

    ∴c1=1-4=-3，c2=1-
    4
    2×3
    =
    1
    3

    ∴c1c2=-1
    ∵cn+1-cn=1-
    4
    (n+1)•3n
    -1+
    4
    n•3n-1
    =
    4(2n+3)
    n(n+1)•3n
    ＞0
    ∴数列{cn}是递增数列
    ∵c2=1-
    4
    2×3
    =
    1
    3
    ＞0，∴n≥2时，cn＞0
    ∴数列{cn}的“积异号数”为1
    点评：本题考查数列的通项与求和，考查新定义，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．
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