Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和两点A（4，1），B（3，2），且椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB．
（Ⅰ）若椭圆经过A点，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C与线段AB有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB，可得b=c，进而a²=b²+c²=2b²，利用椭圆经过A点，可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用两点式求线段AB所在直线方程与椭圆方程联立，根据椭圆C与线段AB有公共点，可得方程在x∈[3，4]上有解，构建函数g（x），转化为只需a²在函数g（x）的值域之内，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）kAB=

2-1

3-4

=-1，因为椭圆右焦点与上顶点的连线平行于AB，所以-

b

c

=-1…（2分）
∴b=c，∴a²=b²+c²=2b²，故椭圆C可化简为x²+2y²=a²…（4分）
又椭圆经过A点，则a²=4²+2=18，故椭圆C的方程为

x2

18

+

y2

9

=1…（6分）
（Ⅱ）∵A（4，1），B（3，2），
∴

y-2

1-2

=

x-3

4-3

∴线段AB所在直线方程为y=-x+5（3≤x≤4）…（7分）
由（Ⅰ）知椭圆C为x²+2y²=a²，
联立

x2+2y2=a2 y=-x+5

，消去y并整理得：3x²-20x+50-a²=0…（&）
由于椭圆C与线段AB有公共点，即方程（&）在x∈[3，4]上有解
（&）式可变形为a²=3x²-20x+50，令g（x）=3x²-20x+50，x∈[3，4]
则只需a²在函数g（x）的值域之内，∴g(x)∈[g(

10

3

)，g(4)]=[

50

3

，18]，
故a2∈[

50

3

，18]，a∈[

5 6

3

，3

2

]．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查函数的值域，联立方程，转化为方程在x∈[3，4]上有解是关键．