Question

已知椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0）双曲线-=1的两条渐近线为l₁和l₂，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l⊥l₂于点C，又l与l₁交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A，B（如图）．
（1）当直线l₁的倾斜角为30°，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；
（2）设，证明：λ₁+λ₂为常数．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为直线l₁的倾斜角为30°，所以，因为双曲线的焦距为8，所以c=4再根据a，b，c关系，可得椭圆方程．
（2）由l⊥l₂于点C，以及l₁和l₂方程可得出l方程，再与l₁方程联立，求出P点坐标．再设出A，B坐标，由，计算出λ₁+λ₂，的值即可．
解答：解：（1）由已知，，a²+b²=16．
解得：a²=12，b²=4
所以椭圆E的方程是
（2）解法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由题意得：直线l₁的方程为：y=x，直线l₂的方程为：y=-x
则直线l的方程为：y=（x-c），其中点F的坐标为（c，0）；


由得：，则点

由消y得：2x²-2cx+（c²-a²）=0，则x₁+x₂=c   x₁x₂=；
由得：，则：，
同理由得：．
λ₁+λ₂=+==
=0
故λ₁+λ₂=0为常数．
解法2：过p作X轴的垂线M，过A，B分别作m的垂线，垂足分别为A₁，B₁
由题意得：直线l₁的方程为：，直线l₂的方程为：
则直线l的方程为：，其中点F的坐标为（c，0）
由得：，则直线m为椭圆E的右准线
则：=，=，其中e的离心率
λ₁=，λ₂=-，=，故λ₁+λ₂=0
∴λ₁+λ₂为常数
点评：本题考查了椭圆，双曲线与直线的位置关系，计算量较大，须认真解答．