Question

设a_n＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n－1＝g(n)(a_n－1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

热点分析　　本题是一个存在性问题，整式g(n)可通过“观察归纳猜想证明”的过程探索和发现，然后应用数学归纳法给出证明． 　　解答　　假设g(n)存在，探索g(n)， 　　当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)， 　　即1＝g(2)×(1＋－1)， 　　解得g(2)＝2； 　　当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 　　即1＋(1＋)＝g(3)×(1＋＋－1)， 　　解得g(3)＝3； 　　当n＝4时，同样可解得g(4)＝4． 　　由此猜想g(n)＝n，(n≥2，n∈N*) 　　下面用数学归纳法证明： 　　当n≥2时，n∈N*时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． 　　(1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2·＝1，结论成立； 　　(2)假设n＝k(k≥2)时结论成立，则 　　a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak 　　＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 　　＝(k＋1)(ak＋－1)－(k＋1)(ak+1－1)． 　　这说明当n＝k＋1时，结论也成立． 　　由(1)、(2)知，对于大于1的自然数n，存在g(n)＝n使a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)恒成立．