Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=

2

，侧棱CC1=

3

，点D是A₁B₁的中点，则异面直线B₁C与AD所成的角的余弦值是

2 5

5

．

Answer 1

分析：取AB的中点为E，连接EB₁，EC，根据题意可得：AD∥B₁E，所以异面直线B₁C与AD所成的角等于直线B₁E与直线B₁C所成的角相等，即∠CB₁E为所求，再利用解三角形的有关知识求出两条异面直线夹角的余弦值．

解答：解：取AB的中点为E，连接EB₁，EC，
因为点D、E分别是A₁B₁，AB的中点，
所以AD∥B₁E，
所以异面直线B₁C与AD所成的角等于直线B₁E与直线B₁C所成的角相等，即∠CB₁E为所求．
因为底面ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=

2

，
所以EC=1，并且BE=1，
又因为侧棱CC1=

3

，
所以B₁E=2，并且B₁C=

5

所以在△AB₁C中由勾股定理可得：∠B₁EC=90°，
所以cos∠CB₁E=

EB1

CB1

=

2

5

=

2 5

5

．
故答案为：

2 5

5

．

点评：本题主要考查空间中异面直线的夹角，求解空间角的一般步骤是：找角，证角，求角三步，解决此类问题的关键是熟练掌握空间几何体的结构特征．