Question

（2012•蓝山县模拟）对于实数x∈[0，π]，定义符号[x]表示不超过x的最大整数，则方程[2sinx]=[

3

]的解集是

[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]

；又方程[2sinx]=[x]的解集是

[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)

．

Answer 1

分析：（1）由新定义可得：[

3

]=1，于是方程[2sinx]=[

3

]可化为[2sinx]=1，进而得出2sinx 的取值范围，再结合已知条件x∈[0，π]，求出即可．
（2）对实数x∈[0，π]，进行恰当分类讨论即可．

解答：解：（1）∵[

3

]=1，∴[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，
∴

1

2

≤sinx＜1，又实数x∈[0，π]，解得x∈[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]，
∴方程[2sinx]=[

3

]的解集是[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]．
故答案为[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]．
（2）对实数x∈[0，π]，进行以下分类：
①当0≤x＜1时，[x]=0，[2sinx]=0，∴0≤2sinx＜1，∴0≤sinx＜

1

2

，及0≤x＜1，解得0≤x＜

π

6

；
②当1≤x＜2时，[x]=1，[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，∴

1

2

≤sinx＜1，及1≤x＜2，解得1≤x＜

π

2

，或

π

2

＜x＜2；
③当x=2时，2sinx＜2，[2]=2，∴2不是方程[2sinx]=[x]的解；
④当2＜x≤π时，2sinx＜2sin

π

2

=2，[x]≥2，此时方程[2sinx]=[x]无解．
综上可知：方程[2sinx]=[x]的解集是[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)．
故答案为[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)．

点评：理解新定义和对x正确分类讨论是解题的关键．