Question

设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a

GA

+b

GB

+

3

3

c

GC

=

0

，则角A=（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：根据三角形重心的性质得到

GA

+

GB

+

GC

=

0

，可得

CG

=

GA

+

GB

．由已知向量等式移项化简，可得

CG

=

3 a

c

GA

+

3 b

c

GB

，根据平面向量基本定理得到

3 a

c

=

3 b

c

=1，从而可得a=b=

3

3

c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．

解答：解：∵G是△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，可得

CG

=

GA

+

GB

．
又∵a

GA

+b

GB

+

3

3

c

GC

=

0

，
∴移项化简，得

CG

=

3 a

c

GA

+

3 b

c

GB

．
由平面向量基本定理，得

3 a

c

=

3 b

c

=1，可得a=b=

3

3

c，
设c=

3

，可得a=b=1，由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1+3-1

2×1× 3

=

3

2

，
∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．
故选：D

点评：本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．