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已知负数a1和正数b1,且对任意的正整数n,当数学公式≥0时,有[an+1,bn+1]=[an数学公式];当数学公式<0时,有[an+1,bn+1]=[数学公式,bn].
(1)求证数列{bn-an}是等比数列;
(2)若a1=-1,b1=2,求证a2n=-2b2n(n∈N*);
(3)是否存在a1,b1,使得数列{an}为常数数列?请说明理由.

解:(1)当≥0时,bn+1-an+1=-an=
<0,bn+1-an+1=bn-=
所以,总有bn+1-an+1=(bn-an),
又b1>0,a1<0,可得b1-a1>0,
所以数列{bn-an}是等比数列.(4分)
(2)①由a1=-1,b1=2,可得
故有
,a2=a1=-1,从而a2=-2b2
故当n=1时,a2n=-2b2n成立.(6分)
②假设当n=k时,a2n=-2b2n成立,即a2k=-2b2k
由b2k-a2k=3b2k>0,可得b2k>0,
故有
,(9分)

故有

故a2(k+1)=-2b2(k+1)
∴当n=k+1时,a2n=-2b2n成立.
综合①②可得对一切正整数n,都有a2n=-2b2n.(12分)
(3)假设存在a1,b1,使得数列{an}为常数数列,
由(1)可得bn-an=(b1-a1)(n-1,又an=a1
故bn=a1+(b1-a1)(n-1,(14分)
由an+1=an恒成立,可知≥0,即a1+(b1-a1)(n≥0恒成立,
即2n对任意的正整数n恒成立,(16分)
是正数,
故n≤对任意的正整数n恒成立,
因为是常数,
故n≤不可能对任意正整数n恒成立.
故不存在a1,b1,使得数列{an}为常数数列.(18分)
分析:(1)要证数列{bn-an}是等比数列,只需证明由已知≥0,可得bn+1-an+1=-an=<0,bn+1-an+1=bn-=,总有bn+1-an+1=(bn-an),从而可得数列{bn-an}是等比数列
(2)利用数学归纳法:①由a1=-1,b1=2,可得,故有,则有,a2=a1=-1,从而a2=-2b2,可得n=1时,a2n=-2b2n成立.
②假设当n=k时,a2n=-2b2n成立,即a2k=-2b2k,证明n=k+1时命题成立
(3)假设存在a1,b1,使得数列{an}为常数数列,结合(1)可得bn-an=(b1-a1)(n-1,由假设可得an=a1
故bn=a1+(b1-a1)(n-1由an+1=an恒成立,可知≥0,即a1+(b1-a1)(n≥0恒成立,
即2n?n≤对任意的正整数n恒成立,求解此时的n的值是否存在
点评:(1)要证明数列{an}是等比数列,利用定义法只需证明
(2)利用数学归纳法证明与数列有关的命题是数列部分难度较大的试题,需要考试有一定的逻辑推理能力.
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已知负数a和正数b,令a1=a,b1=b,且对任意的正整数k,当
ak+bk
2
≥0时,有ak+1=ak,bk+1=
ak+bk
2

ak+bk
2
<0,有ak+1=
ak+bk
2
,bk+1=bk
(1)求bn-an关于n的表达式;
(2)是否存在a,b,使得对任意的正整数n都有bn>bn+1?请说明理由.
(3)若对任意的正整数n,都有b2n-1>b2n,且b2n=b2n+1,求bn的表达式.

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已知负数a和正数b,令a1=a,b1=b,且对任意的正整数k,当≥0时,有ak+1=ak,bk+1=
<0,有ak+1=,bk+1=bk
(1)求bn-an关于n的表达式;
(2)是否存在a,b,使得对任意的正整数n都有bn>bn+1?请说明理由.
(3)若对任意的正整数n,都有b2n-1>b2n,且b2n=b2n+1,求bn的表达式.

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