Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln（x²-2x+2）．
（1）当x＜0时，求f（x）解析式并写出f（x）的单调递增区间．
（2）解关于x的不等式f（x）≥ln10．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性求函数的解析式，再由复合函数的单调性确定函数的单调区间；
（2）化简不等式，讨论解出不等式即可．

解答： 解：（1）当x＜0时，则-x＞0，
f（-x）=ln（x²+2x+2），
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=ln（x²+2x+2），
∴f(x)=

ln(x2-2x+2)，(x≥0) ln(x2+2x+2)，(x＜0)

，
∵u=x²-2x+2=（x-1）²+1在（0，1）上是减函数在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（-1，0）及（1，+∞）上是增函数．
（2）由题意得，

ln(x2-2x+2)≥ln10 x≥0

或

ln(x2+2x+2)≥ln10 x＜0

；
即

x2-2x+2≥10 x≥0

或

x2+2x+2≥10 x＜0

，
解得x≥4或x≤-4．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了不等式的解法，属于中档题．