Question

已知n²（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等差数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）设A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求证：A_n+n能被3整除．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式求得a_1，3和a_1，4，进而可知第1行公差d，进而根据等差数列的通项公式求得
a_1，1a_1，2；进而利用a_2，2=2a_1，2=求得₁a_2，2，
（2）根据（1）可分别求得a_1，n一直到a_n-1，2，相加后利用错位想减法求得A_n，进而求得A_n+n可知其能被3整除．

解答：解：（1）由题意，a_2，3=8，a_3，4=20，所以a_1，3=4，a_1，4=5，
故第1行公差d=1，
所以a_1，1=2，a_1，2=3，得a_2，2=2a_1，2=6．
（2）同（1）可得，a_1，n=n+1，
a_2，n-1=2n，
a_3，n-2=2²（n-1），
…
a_n-1，2=3×2^n-2，a_n，1=2×2^n-1
所以
A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1
=（n+1）+n×2¹+（n-1）×2²+（n-2）×2³++2×2^n-12A_n
2A_n=（n+1）×2¹+n×2²+（n-1）×2³++3×2^n-1+2×2ⁿ
两式相减，得A_n=-（n+1）+2¹+2²+2³++2^n-1+2×2ⁿ
=-(n+1)+

2(1-2n-1)

1-2

+2×2n
=-（n+1）+2ⁿ-2+2×2ⁿ=3×2ⁿ-3-n
所以A_n+n=3×（2ⁿ-1），故A_n+n能被3整除．

点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了学生综合分析问题的能力．