Question

已知函数f(x)=2sin(x+

α

2

)cos(x+

α

2

)+2

3

cos2(x+

α

2

)-

3

为偶函数，且α∈[0，π]
（1）求α的值；
（2）若x为三角形ABC的一个内角，求满足f（x）=1的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数是偶函数，求出α的值；
（2）若x为三角形ABC的一个内角，通过f（x）=1得到三角函数的方程，然后求出x的值．

解答：解：（1）f(x)=2sin(x+

α

2

)cos(x+

α

2

)+2

3

cos2(x+

α

2

)-

3

=sin(2x+α)+

3

cos(2x+α)=2sin(2x+α+

π

3

)
由f（x）为偶函数得α+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z∴α=kπ+

π

6

，k∈Z又α∈[0，π]∴α=

π

6

（2）由f（x）=1得cos2x=

1

2

又x为三角形内角，x∈（0，π）∴x=

π

6

或x=

5π

6

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，常考题型．