Question

已知函数f（x）在R上可导，函数F（x）=f（x²-4）+f（4-x²）给出以下四个命题：（1）F（0）=0（2）F′（±2）=0（3）F′（0）=0（4）F′（x）的图象关于原点对称，其中正确的命题序号有________．

Answer 1

解：F（0）=f（-4）+f（4），无法算出结果，故无法判断F（0）=0是否成立，（1）不正确；
∵F′（x）=2xf′（x²-4）-2xf′（4-x²），∴F′（2）=4f′（0）-4f′（0）=0，F′（-2）=-4f′（0）+4f′（0）=0，
故（2）正确；
F′（0）=0•f′（-4）-0•f′（4）=0，故（3）正确；
∵F′（-x）=-2xf′（x²-4）+2xf′（4-x²）=-[2xf′（x²-4）-2xf′（4-x²）]=-F′（x），
∴F′（x）为奇函数，故F′（x）的图象关于原点对称，（4）正确；
故答案为：（2）（3）（4）．
分析：F（0）=f（-4）=f（4）≠0，故（1）错误；根据复合函数的求导法则求出F′（x），易求F′（±2）=0，F′（0）=0，从而可判断（2）（3）的正确性；根据奇函数定义可判断F′（x）为奇函数，由此可判断（4）的正确性．
点评：本题考查导数的运算及抽象函数，考查函数奇偶性的判断，考查学生运用知识解决问题的能力．