Question

5．已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，其中四边形ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，AB=2，则四棱锥P-ABCD外接球的体积为$\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$．

Answer 1

分析 利用勾股定理，建立方程，即可求出R，即可求出四棱锥P-ABCD的外接球的体积．

解答 解：O是四棱锥P-ABCD的外接球（半径为R）的球心，则|OA|=|OP|=R．
设O到平面ABCD的距离为h，则
${h}^{2}+2=1+（\sqrt{3}-h）^{2}={R}^{2}$，
∴H=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，R=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴四棱锥P-ABCD的外接球的体积为$\frac{4}{3}π•（\sqrt{\frac{7}{3}}）^{3}$=$\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$．
故答案为$\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．