Question

【题目】如图，三棱柱中，D是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若是边长为2的正三角形，且，，平面平面.求平面与侧面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接，记，连接，证明得到答案.

（2）证明，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，利用向量夹角公式得到答案.

（1）连接，记，连接，故为中点，

D是的中点，所以，又平面，平面.

故平面.

（2）取边中点点O，连接，，因为，为等边三角形，，所以，，

又平面平面，且平面平面，

平面，所以，，两两互相垂直.

故以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

则由题意可知，，.

设平面的法向量，则，即，

令，解得，得.

显然平面的一个法向量为.

∴，

∴二面角的正弦值为.