Question

1．计算下列函数的定积分：
（1）${∫}_{0}^{1}$cosxdx
（2）${∫}_{-2}^{4}$|x|dx
（3）${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²dx
（4）${∫}_{0}^{1}$（$\frac{8}{π}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$+6x²）dx．

Answer 1

分析 利用定积分的计算公式以及法则分别解答．

解答 解：（1）${∫}_{0}^{1}$cosxdx=sinx|${\;}_{0}^{1}$=sin1；
（2）${∫}_{-2}^{4}$|x|dx=${∫}_{-2}^{0}（-x）dx+{∫}_{0}^{4}xdx$=（-$\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{-2}^{0}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}$）|${\;}_{0}^{4}$=2+8=10；
（3）${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（1-sinx）dx$=（x+cosx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{π}{2}$-1；
（4）${∫}_{0}^{1}$（$\frac{8}{π}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$+6x²）dx=${∫}_{0}^{1}\frac{8}{π}\sqrt{1-{x}^{2}}dx+{∫}_{0}^{1}6{x}^{2}dx$=$\frac{8}{π}×\frac{π}{4}+2{x}^{3}{|}_{0}^{1}$=2+2=4．

点评 本题考查了定积分的计算，关键是正确找出被积函数或者结合定积分的几何意义求值．