Question

已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+2，其中a∈R，a＜0．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数；
（2）若函数f（x）在区间[1，5]上的最小值为f（5），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在（-∞，1）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，利用定义法得到f（x₁）-f（x₂）＞0，故函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数．
（2）函数f（x）的对称轴是x=1-a，由f（x）在区间[1，5]上的最小值是f（5），得a≤-4，由此能求出a的取值范围．

解答：（1）证明：在（-∞，1）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f(x1) -f(x2) =[x1 2+2(a-1) x1+2]-[x22+2(a-1)x2+2]
=（x₁-x₂）[x₁+x₂+2（a-1）]，
∵a＜0，
∴x₁＜x₂＜1＜1-a，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2（a-1）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数f（x）在区间（-∞，1）上是减函数．
（2）解：函数f（x）的对称轴是x=1-a，
∵f（x）在区间[1，5]上的最小值是f（5），
∴1-a≥5，得a≤-4，
∵a＜0，
∴a的取值范围是a∈（-∞，-4]．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意定义法在证明函数单调性上的灵活运用和抛物线对称轴及二次函数最小值的合理运用．