Question

20．已知：函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx-cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和当x∈（-$\frac{π}{12}$，π）时的值域；
（2）若函数f（x）的图象过点（a，$\frac{6}{5}$），$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{3π}{4}$．求f（$\frac{π}{4}$+a）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），可求函数的最小正周期为2π，由$x∈（{-\frac{π}{12}，π}）$，可求x-$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求得当x∈（-$\frac{π}{12}$，π）时的值域．
（2）依题意得：2sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{6}{5}$，可得sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，结合范围$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{3π}{4}$，可求0＜$α-\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，可求cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{4}）}$的值，由f（$\frac{π}{4}+α$）=2sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，利用两角和的正弦函数公式即可求值．

解答 （本题满分14分）
解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$（sinx-cosx）=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），---（2分）
∴函数的最小正周期为2π，--------------（3分）
∵$x∈（{-\frac{π}{12}，π}）$
$\begin{array}{l}∴x-\frac{π}{4}∈（{-\frac{π}{3}，\frac{3}{4}π}）∴sin（x-\frac{π}{4}）∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]\\∴y∈（{-\sqrt{3}，2}]\end{array}$，------------------------------（7分）
（2）依题意得：2sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{6}{5}$，可得sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{3π}{4}$，
∴0＜$α-\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（$α-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，----------------------------（9分）
∵f（$\frac{π}{4}+α$）=2sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，--------------------------（10分）
∵sin[（$α-\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（$α-\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$α-\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{3}{5}+\frac{4}{5}）$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，…（13分）
∴f（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{7\sqrt{2}}{5}$．--------------------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角和的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．