Question

（2013•泉州模拟）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为AC⊥BD₁的充分条件，并给予证明；
①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形．
（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为1，且∠BAD为锐角，求平面BDD₁与平面BC₁D₁所成锐二面角θ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使AC⊥BD₁，只需AC⊥平面BDD₁，易知DD₁⊥AC．故只需满足条件②即可；
（Ⅱ）设AC∩BD=0，O₁为B₁D₁的中点，易证OO₁、AC、BD交于同一点O且两两垂直．以OB，OC，OO₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m²+n²=1，根据法向量的性质求出平面BC₁D₁的一个法向量

n

，又

AC

=（0，2m，0）是平面BDD₁的一个法向量，则cosθ=

| n • AC |

| n || AC |

，利用向量的数量积运算表示出来，然后借助函数的性质即可求得其范围；

解答：解：（Ⅰ）条件②AC⊥BD，可作为AC⊥BD₁的充分条件．
证明如下：
∵AA₁⊥平面ABCD，AA₁∥DD₁，∴DD₁⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC．
若条件②成立，即AC⊥BD，
∵DD₁∩BD=D，∴AC⊥平面BDD₁，
又BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁．
（Ⅱ）由已知，得ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
设AC∩BD=0，O₁为B₁D₁的中点，
则OO₁⊥平面ABCD，
∴OO₁、AC、BD交于同一点O且两两垂直．
以OB，OC，OO₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示．
设OA=m，OB=n，其中m＞0，n＞0，m²+n²=1，
则A（0，-m，0），B（n，0，0），C（0，m，0），C₁（0，m，1），D₁（-n，0，1），

BC1

=（-n，m，1），

BD1

=（-2n，0，1），
设

n

=（x，y，z）是平面BC₁D₁的一个法向量，
由

n • BC1 =0 n • BD1 =0

得

-xn+ym+z=0 -2xn+z=0

，令x=m，则y=-n，z=2mn，
∴

n

=（m，-n，2mn），
又

AC

=（0，2m，0）是平面BDD₁的一个法向量，
∴cosθ=

| n • AC |

| n || AC |

=

2mn

m2+n2+4m2n2 •2m

=

n

1+4m2n2

=

n2 1+4m2n2

，
令t=n²，则m²=1-t，∵∠BAD为锐角，
∴0＜n＜

2

2

，则0＜t＜

1

2

，cosθ=

t 1+4t(1-t)

=

1 1 t -4t+4

，
因为函数y=

1

t

-4t在（0，

1

2

）上单调递减，∴y=

1

t

-4t＞0，
所以0＜cosθ＜

1

2

，
又0＜θ＜

π

2

，∴

π

3

＜θ＜

π

2

，即平面BDD₁与平面BC₁D₁所成角的取值范围为（

π

3

，

π

2

）．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等．