Question

选修4-4：参考方程与极坐标
分别在下列两种情况下，把参数方程

x= 1 2 (et+e-t)cosθ y= 1 2 (et-e-t)sinθ

化为普通方程：
（1）θ为参数，t为常数；
（2）t为参数，θ为常数．

Answer 1

分析：（1）θ为参数，t为常数时，考虑用sin²θ+cos²θ=1，消去θ．
（2）t为参数，θ为常数时，可考虑根据e^t•e^-t=1，消去t．

解答：解：（1）当t=0时，y=0，x=cosθ，即|x|≤1，且y=0；…（2分）
当t≠0时，cosθ=

x

1 2 (et+e-t)

，sinθ=

y

1 2 (et-e-t)

…（4分）
而cos²θ+sin²θ=1，即

x2

1 4 (et+e-t)2

+

y2

1 4 (et-e-t)2

=1…（5分）
（2）当θ=kπ，k∈Z时，y=0，x=±

1

2

(et+e-t)，即|x|≥1，且y=0…（6分）；
当θ=kπ+

π

2

，k∈Z时，x=0，y=±

1

2

(et-e-t)，即x=0；…（7分）
当θ≠

kπ

2

，k∈Z时，得

et+e-t= 2x cosθ et-e-t= 2y sinθ

，即

2et= 2x cosθ + 2y sinθ 2e-t= 2x cosθ - 2y sinθ

…（9分）
得2et•2e-t=(

2x

cosθ

+

2y

sinθ

)(

2x

cosθ

-

2y

sinθ

)，即

x2

cos2θ

-

y2

sin2θ

=1．…（10分）

点评：本题考查参数方程转化成普通方程，关键在于正确的消参．考查计算、分类讨论的意识和能力．