Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．
（ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知曲线C的方程x²=4y．
（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，由题设知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中点为(a，

a2+4

2

)，由此可知直线AB恒过一定点，并能求出该定点的坐标．
（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点N(a，

a2+4

2

)，直线AB的方程为y=

a

2

x+2，当a≠0时，AB的中垂线与直线y=-2的交点M(

a3+12a

4

，-2)．若△ABM为等边三角形，则|MN|=

3

2

|AB|，∴

1

16

(a2+8)2(a2+4)=

3

4

(a2+4)(a2+8)，解得a=±2，此时E（±2，-2），故满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．

解答：解：（Ⅰ）曲线C的方程x²=4y（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，
∵y=

x2

4

∴y′=

1

2

x过点A的抛物线切线方程为y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，
∵切线过E点，∴-2-

x 2 1

4

=

1

2

x1(a-x1)，整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8可得AB中点为(a，

a2+4

2

)
又kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 4 - x 2 2 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

a

2

，
∴直线AB的方程为y-(

a2

2

+2)=

a

2

(x-a)即y=

a

2

x+2，∴AB过定点（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点N(a，

a2+4

2

)，直线AB的方程为y=

a

2

x+2
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y-

a2+4

2

=-

2

a

(x-a)，
∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M(

a3+12a

4

，-2)∴|MN|2=(

a3+12a

4

-a)2+(-2-

a2+4

2

)2=

1

16

(a2+8)2(a2+4)
∵|AB|=

1+ a2 4

(x1+x2)2-4x1x2

=

(a2+4)(a2+8)

若△ABM为等边三角形，则|MN|=

3

2

|AB|，
∴

1

16

(a2+8)2(a2+4)=

3

4

(a2+4)(a2+8)，
解得a²=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），
当a=0时，经检验不存在满足条件的点E
综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要注意公式的灵活运用，注意计算能力的培养．