Question

已知等比数列{a_n}的前三项的和为

3

4

，前三项的积为-

1

8

．
（Ⅰ）求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₂，a₃，a₁成等差数列，设b_n=（2n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的性质即可求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项的和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则前三项为

a

q

，a，aq；
依题意，前三项的积为-

1

8

，可得a3=-

1

8

⇒a=-

1

2

，
由于

a

q

+a+aq=-

1

2q

-

1

2

-

1

2

q=

3

4

，解得q=-2或-

1

2

，
所以等比数列的通项公式为：an=-

1

2

•(-2)n-2=(-2)n-3或an=(-

1

2

)n-1．

（Ⅱ）若an=(-2)n-3，则a2=-

1

2

，a3=1，a1=

1

4

不成等差数列，不合条件，舍去．
若an=(-

1

2

)n-1，则a2=-

1

2

，a3=

1

4

，a1=1成等差数列，满足条件，
故bn=(2n+1)•(-

1

2

)n-1，
Tn=3×(-

1

2

)0+5(-

1

2

)1+7(-

1

2

)2+…+(2n+1)(-

1

2

)n-1，
-

1

2

T_n=3×（-

1

2

）¹+5×（-

1

2

）²+7×（-

1

2

）³+…+（2n+1）×（-

1

2

）ⁿ，
将上两式相减得：

3

2

Tn=3+2[(-

1

2

)1+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1]-(2n+1)(-

1

2

)n=3+2×

(- 1 2 )[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

-(2n+1)(-

1

2

)n=

7

3

-(2n+

7

3

)(-

1

2

)n
所以Tn=

14

9

-(

4

3

n+

14

9

)(-

1

2

)n．

点评：本题主要考查两个基本数列：等差数列和等比数列的概念及其通项公式，并考查了数列求和中的错位相减法，是最简单也是最常用的数学知识和数学方法．