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    在平面上，给定非零向量
    b
    ，对任意向量
    a
    ，定义
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    ．
    （1）若
    a
    =（2，3），
    b
    =（-1，3），求
    a′
    ；
    （2）若
    b
    =（2，1），证明：若位置向量
    a
    的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
    a′
    的终点也在一条直线上；
    （3）已知存在单位向量
    b
    ，当位置向量
    a
    的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
    a′
    终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
    b
    满足什么关系？
    （1）∵
    a
    =（2，3），
    b
    =（-1，3），
    ∴
    a
    •
    b
    =7，
    |b|
    2    =10，可得
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =
    2×7
    10
    （-1，3）=（-
    7
    5
    ，
    21
    5
    ）
    因此
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =（2，3）-（-
    7
    5
    ，
    21
    5
    ）=（
    17
    5
    ，-
    6
    5
    ）；
    （2）设
    a
    =（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
    算出
    a
    •
    b
    =2x'+y'，
    |b|
    2    =5，
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =
    2(2x′+y′)
    5
    （2，1）=（
    8x′+4y′
    5
    ，
    4x′+2y′
    5
    ），
    ∴
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =（x'，y'）-（
    8x′+4y′
    5
    ，
    4x′+2y′
    5
    ）=（
    -3x′-4y′
    5
    ，
    -4x′+3y′
    5
    ）
    因此，若
    a′
    =（x，y），满足
    x=
    -3x′-4y′
    5
    y=
    -4x′+3y′
    5
    ，得到
    x′=
    -3x-4y
    5
    y′=
    -4x+3y
    5

    ∵点（
    -3x-4y
    5
    ，
    -4x+3y
    5
    ）在直线Ax+By+C=0上
    ∴A×
    -3x-4y
    5
    +B×
    -4x+3y
    5
    +C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
    由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
    即向量
    a′
    的终点也在一条直线上；
    （3）∵
    b
    是单位向量，
    ∴设
    a
    =（x，y），
    b
    =（cosθ，sinθ），可得
    a
    •
    b
    =xcosθ+ysinθ，
    所以
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =
    a
    -2（xcosθ+ysinθ）
    b
    =（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
    ∵
    a
    的终点在抛物线x2=y上，且
    a′
    终点在抛物线y2=x上，
    ∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
    化简整理，通过比较系数可得cosθ=
    		2
    2
    ，sinθ=-
    		2
    2
    或cosθ=-
    		2
    2
    ，sinθ=
    		2
    2

    ∴
    b
    =±（
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    ），
    ∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
    ∴l的方向向量
    d
    =（1，1）．
    可得
    d
    •
    b
    =0，即
    d
    ⊥
    b
    ，因此直线l与向量
    b
    垂直．
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    a
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    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |b|
    2
    b
    ．
    （1）若
    a
    =(2，3)，
    b
    =(-1，3)    ，求
    a′
    ；
    （2）若
    b
    =(2，1)    ，证明：若位置向量
    a
    的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
    a′
    的终点也在一条直线上．

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    =
    a
    -
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    a
    •
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    )
    |
    b
    |2
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    a′
    ；
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    =（2，1），证明：若位置向量
    a
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    a′
    的终点也在一条直线上；
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    ，当位置向量
    a
    的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
    a′
    终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
    b
    满足什么关系？

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