Question

【题目】如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的高.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANB1⊥平面AA1B1B．

（2）求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱锥B1﹣ANB的高．

（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，

∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面为正三角形，

侧棱垂直于底面），

侧棱长AA1＝2，底面边长AB＝1，N是CC1的中点．

∴以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，

建立空间直角坐标系，

A（，0，0），N（0，1，），

B1（，2，0），

（），（﹣1，2，0），

设平面ANB1的法向量（x，y，z），

则，

取y＝1，得（2，1，0），

平面AA1B1B的法向量（0，0，1），

∵0，

∴平面ANB1⊥平面AA1B1B．

（2）B（，0，0），（﹣1，0，0），

设平面ABN的法向量（x，y，z），

则，取z＝2，得（0，，2），

∴点B1到平面ANB的距离d．

∴三棱锥B1﹣ANB的高为．