Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，0≤x＜1}\\{f（x-1），x≥1}\end{array}\right.$，g（x）=k（x+1），若方程f（x）-g（x）=0有四个不同实数根，则k的取值范围为[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{5}$）．

Answer 1

分析 直线g（x）=k（x+1）恒过定点A（-1，0），则方程f（x）-g（x）=0有四个不同实数根可转化为函数y=f（x）与y=g（x）有且只有四个交点，作出函数f（x）的图象，从图象中得到实数k的取值范围．

解答 ，解：直线g（x）=k（x+1）恒过定点A（-1，0），
则方程f（x）-g（x）=0有四个不同实数根，
可转化为函数y=f（x）与y=g（x）有且只有四个交点，
作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，0≤x＜1}\\{f（x-1），x≥1}\end{array}\right.$
的图象如右图，
由图象可得直线在直线AB和AC之间有4个交点，
由A（-1，0），B（4，1）可得直线AB的斜率为$\frac{1-0}{4-（-1）}$=$\frac{1}{5}$，
由A（-1，0），C（5，1）可得AC的斜率为$\frac{1-0}{5-（-1）}$=$\frac{1}{6}$，
即有k的范围是[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{5}$）．
故答案为：[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{5}$）．

点评 本题考查了方程的解与函数的零点之间的关系，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想，属于中档题．