Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：在数列{a_n}中，∵当n≥2时，a，∴数列{a_n}为等比数列，
又∵a₁=2，a₂=4，∴公比．
∴数列{a_n}的通项公式为；
（Ⅱ）解：由b_n=（2n-1）a_n，，得．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ ①．
②．
①-②得：
=
=2-8（1-2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺²-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹．
∴；
（Ⅲ）证明：∵（n≥2），
∴

=．
分析：（Ⅰ）由给出的数列的递推式a，n∈N^*，可以断定数列是等比数列，再由a₁=2，a₂=4求出等比数列的公比，则通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n代入b_n=（2n-1）a_n，利用错位相减法可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）把代入，然后进行放大，化为代入要证的不等式左边，正负相消后可证出结论．
点评：本题考查了利用数列的递推式确定等比关系，考查了错位相减法求数列的先n项和，训练了放缩法证明不等式，利用放缩法证不等式是学生学习中的难点．此题属难题．