Question

5．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥0，}&{\;}\\{x-y≤0，}&{\;}\\{x-2y+2≥0，}&{\;}\end{array}\right.$则（x+3）²+（y-$\frac{1}{2}$）²的最小值为4．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．

解答 解：变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥0，}&{\;}\\{x-y≤0，}&{\;}\\{x-2y+2≥0，}&{\;}\end{array}\right.$的可行域如图：
则（x+3）²+（y-$\frac{1}{2}$）²的几何意义是可行域内的点与（-3，$\frac{1}{2}$）距离的平方，
由可行域可知A与（-3，$\frac{1}{2}$）距离取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$．解得A（-1，$\frac{1}{2}$），
则（x+3）²+（y-$\frac{1}{2}$）²的最小值为：（-1+3）²+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）²=4．
故答案为：4．

点评 本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用．