Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且3a_n+1-8a_n+1a_n+5a_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由3a_n+1-8a_n+1a_n+5a_n=2得，
因为a₁=1，所以，…（2分）
同理，…（4分）
（Ⅱ）猜想…（6分）
证明：①当n=1时，猜想成立．…（7分）
②设当n=k时（n∈N^*）时，猜想成立，即，…（8分）
则当n=k+1时，有=…（10分）
=，…（12分）
所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②，猜想对任何n∈N^*都成立 …（14分）
分析：（Ⅰ）利用已知条件通过n=1，2，3即可求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；猜想数列{a_n}的通项公式，利用用数学归纳法的证明步骤在证明即可．
点评：本题考查归纳推理，数学归纳法的证明步骤的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．