Question

已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的动弦BC平行于虚轴，M、N是双曲线的左、右顶点,

(1)求直线MB、CN的交点P的轨迹方程；

(2)若P(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),求证:a是x₁、x₂的比例中项.

Answer 1

解析:由题意可知点M的位置是由B、C的位置所决定的,而B、C又是动点,如果将B、C的坐标设为一般的形式,显然很难计算,计算起来很复杂,故在此可考虑将B、C两点坐标设为参数形式,对于此题的计算很有帮助.

（1）解:由题意可设点B(asecθ,btanθ),

则点C(asecθ-btanθ),又M(-a,0),N(a,0),?

∴直线MB的方程为y=(x+a),?

直线CN的方程为(x-a).?

将以上两式相乘得点P的轨迹方程为x²a²+y²b²=1.

（2）证明:因为P既在MB上,又在CN上,由两直线方程消去y₁得x₁=,而x₂=asecθ,所以有x₁x₂=a²,即a是x₁、x₂的比例中项.