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9.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y-4k+3=0.
(1)证明:直线l恒过定点,并求出该定点;
(2)证明:不论k取何值,直线l和圆C总相交;
(3)当k取何值时,圆C被直线l截得的弦长最短?并求最短的弦的长度.

分析 (1)直线kx-y-4k+3=0,即 k(x-4)-y+3=0,可得直线l经过定点M(4,3);
(2)点M在圆C的内部,可得直线l和圆C总相交.
(3)当直线CM和直线l垂直时,弦长最短,再利用弦长公式求得最短弦长.

解答 (1)证明:直线kx-y-4k+3=0,即 k(x-4)-y+3=0,
∴直线l恒过定点,定点M(4,3);
(2)解:圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,表示以C(3,4)为圆心、半径等于2的圆.
而由CM=2<2,可得点M在圆C的内部,故直线l和圆C总相交.
(3)解:由题意可得,当直线CM和直线l垂直时,弦长最短,最短弦长为242=22
此时kCM=4334=-1,∴k=1.

点评 本题主要考查圆的标准方程,直线经过定点问题,直线和圆的位置关系,弦长公式的应用,属于中档题.

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