Question

已知函数f（x）=Asin（wx+

π

6

）（A＞0，w＞0）的最小正周期为π，且x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，
（1）求A的值；
（2）求函数f（x）在[-π，0]上的单调递增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期公式可先求w，得解析式f（x）=Asin（2x+

π

6

），由x∈[0，

π

2

]，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π，即可求A的值．
（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+

π

6

），由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，又由x∈[-π，0]，即可求函数f（x）在[-π，0]上的单调递增区间．

解答： 解：（1）由T=π=

2π

w

，
∴w=2，
∴f（x）=Asin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f_max（x）=A=4…（7分）
（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+

π

6

），
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
又∵x∈[-π，0]，
故f（x）的增区间是[-π，-

5π

6

]，[-

π

3

，0]…（12分）
（其他方法请酌情给分）

点评：本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的周期性，单调性，属于基础题．