Question

已知两圆Q1：（x+1）²+y²=和Q2：（x-1）²+y²=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件中，两圆Q1：（x+1）²+y²=和Q2：（x-1）²+y²=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．易得动圆圆心P到已知两圆圆心的距离和为定值，即动圆圆心P的轨迹是一个椭圆，根据已知条件求出a，b值，即可确定动圆圆心P的轨迹方程．
（2）我们可以假设这样的直线存在，由其经过点M（5，0），故可以设出其点斜式方程，然后经过推理得到矛盾，即说明假设不成立，即不存在这样的直线．
解答：解：（Ⅰ）由已知，点O₁（-1，0），O₂（1，0），，，则
|O₁O₂|=2＜r₂-r₁，所以⊙O₁内含于⊙O₂．
设圆P的半径为r，因为动圆P与⊙O₁外切，且与⊙O₂内切，则
．
所以动圆圆心P轨迹是以点O₁O₂为焦点的椭圆
因为a=，c=1，所以b²=a²-c²=4．
故动圆圆心P的轨迹方程是
（Ⅱ）因为直线x=5与椭圆无交点，可设直线l方程为y=k（x-5）．
由，得4x²+5k²（x-5）²=20，即（5k²+4）x²-50k²x+125k²-20=0
设点A（x₁，y₁，B（x₂，y₂），AB的中点为C（x，y），则
=
，y=k（x-5）==．
若线段AB的垂直平分线经过圆心O₂，则CO₂⊥l，即
所以，即4=0，矛盾！
故不存在直线l使得线段AB的垂直平分线经过圆心O₂．
点评：本题考查的知识点是圆的方程、椭圆的性质及椭圆与直线的关系，解题的关键是根据已知条件中未知圆与已知圆的位置关系，结合“圆的位置关系与半径及圆心距的关系”，探究出动圆圆心P的轨迹，进而给出动圆圆心P的轨迹方程．