Question

如图，

AEC

是半径为a的半圆，AC为直径，点E为

AC

的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=

5

a，EF=

6

a．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，FQ=

2

3

FE，FR=

2

3

FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明EB⊥FD，我们可以转化为证明EB⊥平面BDF，由FB=FD=

5

a，EF=

6

a，我们易得△EBF为直角三角形，即EB⊥BF，又由E是半圆

AC

的中点，则其圆心角∠EBD=90°，结合线面垂直的判断定理和定义，不难给出结论．
（2）要求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值，关键是要根据二面角的定义，先求出二面角的平面角，根据（1）的结论和已知我们可得DG⊥平面BDF，DG⊥DR，DG⊥DQ，即∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，解三角形RDB即可得到结论．

解答：（1）证明：连接CF，因为

AEC

是半径为a的半圆，AC为直径，点E为

AC

的中点，所以EB⊥AC．
在RT△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

a2+a2

=

2

a．
在△BDF中，BF=DF=

5

a，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．
在△CEF中，CE2+CF2=(

2

a)2+(2a)2=6a2=EF2，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．
因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，
而EB?平面BED，∴CF⊥EB．
因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，
而FD?平面BDF，∴EB⊥FD．
（2）解：设平面BED与平面RQD的交线为DG．
由FQ=

2

3

FE，FR=

2

3

FB，知QR∥EB．
而EB?平面BDE，∴QR∥平面BDE，
而平面BDE∩平面RQD=DG，
∴QR∥DG∥EB．
由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，
而DR，DB?平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，
∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt△BCF中，CF=

BF2-BC2

=

( 5 a)2-a2

=2a，sin∠RBD=

FC

BF

=

2a

5 a

=

2

5

，cos∠RBD=

1-sin2∠RBD

=

1

5

．
在△BDR中，由FR=

2

3

FB知，BR=

1

3

FB=

5 a

3

，
由余弦定理得，RD=

BD2+BR2-2BD•BRcos∠RBD

=

(2a)2+( 5 a 3 )2-2•2a• 5 a 3 • 1 5

=

29

3

a
由正弦定理得，

BR

sin∠RDB

=

RD

sin∠RBD

，即

5 3 a

sin∠RDB

=

29 3 a

2 5

，sin∠RDB=

2 29

29

．
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为

2 29

29

．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，通过解∠RDB所在的三角形求得∠RDB．其解题过程为：作∠RDB→证∠RDB是二面角的平面角→计算∠RDB，简记为“作、证、算”．