Question

若关于x的不等式a≤

3

4

x²-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b=

4

．

Answer 1

分析：设f（x）等于

3

4

x²-3x+4，它的图象为一条抛物线，画两条与x轴平行的直线y=a和y=b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间，而此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y=a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以得到a小于等于抛物线的最小值且a与b所对的函数值相等且都等于b，利用f（b）=b解出b的值，由抛物线的对称轴即可求出a的值，进而求出a+b的值．

解答：解：设f（x）=

3

4

x²-3x+4，当x=-

-3

2× 3 4

=2时，f（x）_min=1，
由题意可知a≤1，且f（a）=f（b）=b，a＜b，
由f（b）=b得到

3

4

b²-3b+4=b，解得b=0（舍去）或b=4，
可得b=4，
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0，
所以a+b=4．
故答案为：4

点评：此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，灵活利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．