Question

2．如图，在四棱锥A-BCDE中，∠ABC=30°，AB⊥AC，AF⊥BC，垂足为F，BE⊥平面ABC，CD∥BE，BC=4，BE=3，CD=1．
（Ⅰ）求证：EF⊥AD；
（Ⅱ）求平面ADE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y宙，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥AD．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量和平面ADF的法向量，利用向量法能示出平面ADE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y宙，过A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵∠ABC=30°，AB⊥AC，AF⊥BC，垂足为F，
BE⊥平面ABC，CD∥BE，BC=4，BE=3，CD=1，
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，BF=3，CF=1，AF=$\sqrt{3}$，
∴E（2$\sqrt{3}$，0，3），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），A（0，0，0），D（0，2，1），
$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，-3），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，1），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AD}$=0+3-3=0，∴EF⊥AD．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{AD}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，0，3），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2\sqrt{3}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-2）．
设平面ADF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{3}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=2b+c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{4}$，
∴平面ADE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．