Question

（2013•兰州一模）已知各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸=

-3

．

Answer 1

分析：根据对数的运算性质，结合题意算出a_n+1a_n=2ⁿ，从而证出{a_n}的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，由此结合等比数列的求和公式即可算出所求式子的值．

解答：解：∵log₂a_n+1+log₂a_n=n
∴log₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ
由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得

an+2

an

=2
∴a₁、a₃、…a₂₀₁₃和a₂、a₄、…、a₂₀₁₂分别构成以2为公比的等比数列
则a₁+a₃+…+a₂₀₁₃=

1-21007

1-2

=2¹⁰⁰⁷-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₂=

2(1-21006)

1-2

=2¹⁰⁰⁷-2
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸
=（2¹⁰⁰⁷-1）+（2¹⁰⁰⁷-2）-2¹⁰⁰⁸=2•2¹⁰⁰⁷-3-2¹⁰⁰⁸=2¹⁰⁰⁸-3-2¹⁰⁰⁸=-3
故答案为：-3

点评：本题给出各项为正的数列{a_n}满足的等式，求它的前2013项之和．着重考查了等比数列的通项与求和公式、对数的运算性质和数列递推式的理解等知识，属于中档题．