Question

【题目】已知 ，其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，求实数a，b的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上只有一个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，且在（﹣∞，0）上递增，

∴f（x）在[0，+∞）上是递增函数∴a＞1，且f（0）=1+b≥﹣1，得b≥﹣2，

∴a＞1，b≥﹣2．

（Ⅱ）∵x＜0时，f（x）＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，0）上无零点，

∴x≥0时，f（x）=2x+b只有一个零点，

∵f（x）在[0，+∞）递增，

∴f（0）=1+b≤0，即b≤﹣1．

∴实数b的取值范围是b∈（﹣∞，﹣1]

【解析】（Ⅰ）由题意可得出f（x在（﹣∞，0）上递增，f（x）在[0，+∞）上是也递增函数，根据指数函数的单调性可得到a＞1，再根据二次函数的单调性得出f（0）≥﹣1，即得出b≥﹣2。（Ⅱ）当a=2时，由∵x＜f（x）＜﹣1可得到f（x）在（﹣∞，0）上无零点，所以当x≥0时，f（x）=2x+b只有一个零点，再根据函数的增减性得出b≤﹣1．