Question

【题目】设函数f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x ．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）若 ，求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】解：（I）因为f（x）=a（x﹣1）2﹣xe2﹣x，

所以f'（x）=2a（x﹣1）﹣（e2﹣x﹣xe2﹣x）．因为f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，所以f′（2）=0，1+2a=0，a=﹣ ．…
（II）因为f′（x）=（x﹣1）（e2﹣x+2a），

⑴所以f′（x）＞0，解得：x＞1，f′（x）＜0，解得：x＜1

所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；

⑵当﹣ ＜a＜0时，

令f′（x）=0，得x1=1，x2=2﹣ln（﹣2a），且x2﹣x1=1﹣ln（﹣2a）＞0．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，2﹣ln（﹣2a））	2﹣ln（﹣2a）	（2﹣ln（﹣2a），+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）		极小值		极大值

所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），

函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）；

综上所述：

当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；

当﹣ ＜a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），

函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）．…

【解析】1、( 1 )、求导可得因为f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，所以f′（2）=0，1+2a=0，a=﹣ .
（2）、由第I问可得f′（x）＞0，解得：x＞1，f′（x）＜0，解得：x＜1所以函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；
2、令f′（x）=0，得x1=1，x2=2﹣ln（﹣2a），且x2﹣x1=1﹣ln（﹣2a）＞0．列图表可得当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；当﹣ ＜a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2﹣ln（﹣2a）），

函数f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，1），（2﹣ln（﹣2a），+∞）。