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    （08年江苏卷）【必做题】记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．

    解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,

     由，得，所以

       

    显然不是平角，所以为钝角等价于

     ，则等价于

    即 ，得

    因此，的取值范围是

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    在等式（）的两边求导，得：，

    由求导法则，得，化简得等式：．

    （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．

    （2）对于正整数，求证：

    （i）；  （ii）；  

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    在等式（）的两边求导，得：，

    由求导法则，得，化简得等式：．

    （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．

    （2）对于正整数，求证：

    （i）；  （ii）；  （iii）．

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