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    如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
    x2
    24
    +
    y2
    12
    =1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
    （1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
    （2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；
    （3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系
    专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）通过直线OP，OQ互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程，求出圆的圆心，然后求圆R的方程；
    （2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程(1+k2)x2-(2x0+2ky0)x+x02+y02-8=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点R（x0，y0）在椭圆C上，证明2k1k2+1=0．
    （3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：
    法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    联立
    y=k1x
    x2
    24
    +
    y2
    12
    =1
    ，推出x12+y12=
    24(1+k12)
    1+2k12
    ，x22+y22=
    24(1+k22)
    1+2k22
    ，由k1k2=-
    1
    2
    ，求出OP2+OQ2是定值．
    （ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．
    法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过2k1k2+1=0，推出
    y
    2
    1
    y
    2
    2
    =
    1
    4
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    ，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，联立
    x
    2
    1
    24
    +
    y
    2
    1
    12
    =1
    x
    2
    2
    24
    +
    y
    2
    2
    12
    =1
    ，推出OP2+OQ2=36．即可．
    解答： 解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径r=2
    		2
    ，
    因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
    所以|OR|=
    		2
    r=4    ，即x02+y02=16，①…（1分）
    又点R在椭圆C上，所以
    x02
    24
    +
    y02
    12
    =1    ，②…（2分）
    联立①②，解得
    x0=±2
    		2
    y0=±2
    		2
    .
    …（3分）
    所以所求圆R的方程为(x±2
    		2
    )2+(y±2
    		2
    )2=8    ． …（4分）
    （2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，
    所以
    y=k1x
    (x-x0)2+(y-y0)2=8
    ，化简得(1+k12)x2-(2x0+2k1y0)x+x02+y02-8=0…（6分）
    同理(1+k22)x2-(2x0+2k2y0)x+x02+y02-8=0，…（7分）
    所以k1，k2是方程ξ的两个不相等的实数根，k1•k2=
    -b+
    		b2-4ac
    2a
    •
    -b-
    		b2-4ac
    2a
    =
    c
    a
    =
    y
    2
    0
    -8
    x
    2
    0
    -8
    …（8分）
    因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以
    x
    2
    0
    24
    +
    y
    2
    0
    12
    =1    ，即
    y
    2
    0
    =12-
    1
    2
    x
    2
    0
    ，
    所以k1k2=
    4-
    1
    2
    x
    2
    0
    x
    2
    0
    -8
    =-
    1
    2
    ，即2k1k2+1=0．   …（10分）
    （3）OP2+OQ2是定值，定值为36，…（11分）
    理由如下：
    法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    联立
    y=k1x
    x2
    24
    +
    y2
    12
    =1
    解得
    x12=
    24
    1+2k12
    y12=
    24k12
    1+2k12
    .
    …（12分）
    所以x12+y12=
    24(1+k12)
    1+2k12
    ，同理，得x22+y22=
    24(1+k22)
    1+2k22
    ，…（13分）
    由k1k2=-
    1
    2
    ，
    所以OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=
    24(1+k12)
    1+2k12
    +
    24(1+k22)
    1+2k22
    =
    24(1+k12)
    1+2k12
    +
    24(1+(-
    1
    2k1
    )    2    )
    1+2(-
    1
    2k1
    )    2
    =
    36+72k12
    1+2k12
    =36…（15分）
    （ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有ξ，
    综上：OP2+OQ2=36． …（16分）
    法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    因为2k1k2+1=0，所以
    2y1y2
    x1x2
    +1=0    ，即
    y
    2
    1
    y
    2
    2
    =
    1
    4
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    ，…（12分）
    因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以
    x
    2
    1
    24
    +
    y
    2
    1
    12
    =1
    x
    2
    2
    24
    +
    y
    2
    2
    12
    =1
    ，
    即
    y
    2
    1
    =12-
    1
    2
    x
    2
    1
    y
    2
    2
    =12-
    1
    2
    x
    2
    2
    ，…（13分）
    所以(12-
    1
    2
    x
    2
    1
    )(12-
    1
    2
    x
    2
    2
    )=
    1
    4
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    ，整理得
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    2
    =24    ，
    所以
    y
    2
    1
    +
    y
    2
    2
    =(12-
    1
    2
    x
    2
    1
    )+(12-
    1
    2
    x
    2
    2
    )=12    ，
    所以OP2+OQ2=36．   …（15分）
    （ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，
    综上：OP2+OQ2=36．     …（16分）
    点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．
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    1
    2
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    a
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    x-
    1
    x
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