Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足=2(a>0，且a≠1)，设y₃="18," y₆=12.
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得当n>M时，x_n>1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由；
（3）令试比较的大小.

Answer 1

（1）由题意知{x_n}为等比数列，且x_n>0，又y_n=2log_ax_n，则y_n+1-y_n=2log_ax_n+1-2log_ax_n=2log_a, …………………………………………….3分
∵{x_n}为等比数列，则为常数，∴y_n+1-y_n为常数，∴{y_n­}为等差数列，设公差为d.则y₆-y₃=3d="12-18=-6." ∴d=-2. …………………………………………………5分
∴y_n=y₃+(n-3)×d=18+(n-3)×(-2)=24-2n, ∴y₁=22,
S_n=，显然n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132. ………………………………………………………7分
（2）∵y_n­=24-2n=2log_ax_n, ∴x_n=a^12-n，又x_n>1，即a^12-n>1.当a>1时，12-n>0，即n<12.当0<a<1时，12-n<0，即n>12.∴当0<a<1时，存在M=12时，当n>M时x_n>1恒成立. ……………………………………………………11分
（3）=, ∵在(13, +∞)上为减函数，∴ ……………………………………………14分

略