Question

极坐标系中，圆C方程ρ=2

3

cosθ-2sinθ，A（

3

，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；
（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ得到圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）先分别求出A，B的直角坐标，然后利用余弦定理表示出PA与PB，最后根据三角函数的有界性可求出|PA|•|PB|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=2

3

cosθ-2sinθ，
∴ρ²=2

3

ρcosθ-2ρsinθ则x²+y²=2

3

x-2y，
即圆C在直角坐标系中的标准方程为（x-

3

）²+（y+1）²=4；
（Ⅱ）A（

3

，2π）的直角坐标为（

3

，0），圆C的圆心坐标为（

3

，-1），
∵圆心C为线段AB中点，
∴点B的坐标为（

3

，-2），AC=BC=1，
设∠ACP=θ，而PC=2，则PA=

AC2+PC2-2AC×PC×cosθ

=

5-4cosθ

，
同理PB=

5+4cosθ

，
∴|PA|•|PB|=

5-4cosθ

•

5+4cosθ

=

25-16cos2θ

≤5，当且仅当cosθ=0时取等号，
∴|PA|•|PB|的最大值为5．

点评：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及最值的研究，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于中档题．