【题目】已知函数.
(1)当时,试求的单调区间;
(2)若在内有极值,试求的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1);(2)a∈(e,+∞)
【解析】
(1)首先求得定义域为,求导后,通过证明恒成立可知导函数符号由的符号决定,从而可求得函数的单调区间;(2)将在内有极值转化为在内有零点,即有解,令,,利用导数可求得,从而可验证出时在内有零点,从而得到结果.
(1)由题意知,定义域为:
当时,
则:
令,则
当时,;当时,
在上单调递减;在上单调递增
即:对任意的,恒成立
当时,;当时,
的单调递增区间为:;单调递减区间为:
(2)若在内有极值,则在内有零点
由,得:,则
设,,则恒成立
在上单调递减
当时,在内有解
设,则
当时, 在上单调递减
又, 在上有唯一解
当时,;当时,
当时,在内有唯一极值
当时,在上单调递增,不存在极值
综上所述:
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【题目】已知椭圆C:过点,左右焦点为,且椭圆C关于直线对称的图形过坐标原点。
(I)求椭圆C方程;
(II)圆D:与椭圆C交于A,B两点,R为线段AB上任一点,直线F1R交椭圆C于P,Q两点,若AB为圆D的直径,且直线F1R的斜率大于1,求的取值范围.
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【题目】已知圆: 经过椭圆: 的左右焦点,且与椭圆在第一象限的交点为,且三点共线,直线交椭圆于, 两点,且().
(1)求椭圆的方程;
(2)当三角形的面积取得最大值时,求直线的方程.
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【题目】某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.
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【题目】已知椭圆:的右焦点,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点,当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,线段上是否存在点,使得?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示,已知棱锥P-ABC 中.PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB=1,N为AB 上一点,AB=4AN,M.S分别为PB,BC的中点.
(1)证明:CM⊥SN;
(2)求二面角M-NC-B的余弦值.
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【题目】设A是圆O:x2+y2=16上的任意一点,l是过点A且与x轴垂直的直线,B是直线l与x轴的交点,点Q在直线l上,且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时,记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知直线y=kx﹣2(k≠0)与曲线C交于M,N两点,点M关于y轴的对称点为M′,设P(0,﹣2),证明:直线M′N过定点,并求△PM′N面积的最大值.
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【题目】设、分别是椭圆C:的左、右焦点,,直线1过且垂直于x轴,交椭圆C于A、B两点,连接A、B、,所组成的三角形为等边三角形。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点,试问:椭圆C上是否存在点P,使成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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