Question

（2011•南昌模拟）设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）设x₀为f（x）的一个极值点，证明[f(x0)]2=

x 4 0

1+ x 2 0

．

Answer 1

分析：（1）由f（x+2kπ）-f（x）=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx，能够证明f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx．
（2）由f'（x）=Sinx+xSinx得：f'（x₀）=Sinx₀+x₀Sinx₀=0，由Sin²x₀+cos²x₀=1联立得：Sin2x0=

x 2 0

1+ x 2 0

，由此能够证明[f(x0)]2=

x 4 0

1+ x 2 0

．

解答：解：（1）f（x+2kπ）-f（x）
=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx
=（x+2kπ）Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…（6分）
（2）由f'（x）=sinx+xcosx，
得：f'（x₀）=sinx₀+x₀cosx₀=0…（8分）
又sin²x₀+cos²x₀=1联立，
得：Sin2x0=

x 2 0

1+ x 2 0

…（12分）
∴[f（x₀）]²=x₀²Sin²x₀=

x

2 0

×

x 2 0

1+ x 2 0

=

x 4 0

1+ x 2 0

…（14分）

点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．