Question

16．已知直线y=3x上一点P的横坐标为a，有两定点A（a，3a+2）、B（3，3），向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为钝角，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得P（a，3a），A（a，3a+2），B（3，3），求得向量PA，PB的坐标，向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为钝角，等价为$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$不共线．运用向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，计算即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得P（a，3a），A（a，3a+2），B（3，3），
$\overrightarrow{PA}$=（0，2），$\overrightarrow{PB}$=（3-a，3-3a），
向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为钝角，
等价为$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$不共线．
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，可得2（3-3a）＜0，解得a＞1，
由$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$共线，可得2（3-a）=0，解得a=3，
综上可得，a的取值范围是{a|a＞1且a≠3}．

点评 本题考查向量的夹角为钝角的等价条件，考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题和易错题．