【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(Ⅰ)若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3},求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=|2x﹣a|+a,故不等式f(x)≤6,即 ,求得 a﹣3≤x≤3.
再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得a﹣3=﹣2,∴实数a=1.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,f(x)=|2x﹣1|+1,∴f(n)=|2n﹣1|+1,存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,
即f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.
由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|(2n﹣1)﹣(2n+1)|=2,∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2,∴m≥4,
故实数m的取值范围是[4,+∞)
【解析】(Ⅰ)不等式f(x)≤6,即 ,求得a﹣3≤x≤3.再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得a﹣3=﹣2,从而求得实数a的值.(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,f(n)=|2n﹣1|+1,即f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2,可得m的范围.
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【题目】某校高三年级进行了一次学业水平测试,用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩,准备进行分析和研究.经统计,成绩的分组及各组的频数如下: ,2;
,3;
,10;
15; ,12;
,8.
(1)完成样本的频率分布表,画出频率分布直方图;
(2)估计成绩在85分以下的学生比例;
(3)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2-4x=0的圆心为Q.
(1)求过点P(0,-4)且与圆Q相切的直线的方程;
(2)若过点p(0,-4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA、OB为邻边做平行四边形OABC,问是否存在常数k,使得平行四边形OABC为矩形?请说明理由.
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【题目】已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.
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【题目】在△ABC中,A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的( )
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,其中DA⊥AB,AD∥BC.PA=2AD=BC=2,AB=2 .
(1)求异面直线PC与AD所成角的大小;
(2)若平面ABCD内有一经过点C的曲线E,该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角.试判断曲线E的形状并说明理由;
(3)在平面ABCD内,设点Q是(2)题中的曲线E在直角梯形ABCD内部(包括边界)的一段曲线CG上的动点,其中G为曲线E和DC的交点.以B为圆心,BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点.当Q点在曲线段CG上运动时,试求圆半径r的范围及VP﹣BMN的范围.
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【题目】农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高,数据如下:(单位:cm)
甲:9,10,11,12,10,20
乙:8,14,13,10,12,21.
(1)在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.
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