Question

6．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分别是BC、CC₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=45°且AB=2，求三棱锥F-AEC的表面积．

Answer 1

分析 （1）由B₁B⊥平面ABC，可得B₁B⊥AE，利用△ABC是等边三角形，可得AE⊥BC，可得AE⊥平面BCC₁B₁，即可证明平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）由（1）可知CD⊥平面ABB₁A₁，CD⊥A₁D，再利用等边三角形的性质、勾股定理可得AA₁，FC．利用直角三角形的面积计算公式即可得出．

解答 证明：（1）如图，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，
∴B₁B⊥平面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥BB₁，
∵E、F分别是BC、CC₁的中点，∴AE⊥BC，
∵BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面B₁BCC₁，
∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
解：（2）由（1）可知CD⊥平面ABB₁A₁，A₁D?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥A₁D，
∵AB=AC=BC=2，D是AB的中点，E是BC的中点，
∴AE=CD=$\sqrt{3}$，AD=CE=1，
∵∠CA₁D=45°，∴A₁D=CD=$\sqrt{3}$，
∴AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵F是C₁C的中点，FC=$\frac{1}{2}$AA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴三棱锥F-AEC的表面积：
S=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+1}$
=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、等边三角形的性质、直角三角形的面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．