Question

【题目】设是数列的前项和，已知， .

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，数列的前项和为，求.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ) 由，得，两式相减，化简可得，根据等比数列的通项公式可数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，利用裂项相消法即可求得数列的前项和为，从而可得.

试题解析：（Ⅰ）当时，由，得，

两式相减，得 ，

， .

当时， ， ，则.

数列是以为首项， 为公比的等比数列.

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .

.

【方法点晴】本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.